Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para determinados valores de las variables o incógnitas (las letras).
Si una ecuación es una igualdad algebraica, eso quiere decir que tiene un signo «=», y una expresión a cada lado del mismo.
A las expresiones que quedan a cada lado del signo «=» se las denomina miembros de la ecuación. Para distinguirlos, se suele llamar primer miembro al que está a la izquierda del «=», y segundo miembro al que está a la derecha (también se les puede llamar perfectamente «miembro de la izquierda» y «miembro de la derecha», que al fin y al cabo es lo que son).
A cada uno de los monomios que forman parte de la ecuación se les denomina términos.
Por otra parte, el grado de una ecuación es el mayor grado de los monomios o términos que contiene (el número de mayor valor al que esté elevado la incógnita).
Por ejemplo, la siguiente igualdad algebraica es una ecuación:
7x – 3 = 3x + 9
Los valores de las variables o incógnitas (letras) que hacen que se verifique la igualdad son lo que denominamos soluciones o raíces de la ecuación. Así, en el ejemplo anterior, x=3 sería una solución, ya que hace que se verifique la igualdad al sustituir x por 3:
7·3 – 3 = 3·3 + 9
21 – 3 = 9 + 9
18 = 18
Por lo tanto, resolver una ecuación no es otra cosa que encontrar el valor o los valores que ha de tomar la variable o incógnita para que se cumpla la igualdad.
Ecuaciones de primer grado sin paréntesis ni denominadores
Conocidas ya las herramientas que vamos a utilizar, empecemos por las ecuaciones de primer grado más sencillas que nos podemos encontrar, aquellas que no tienen ni paréntesis ni denominadores.
Como ya comenté cuando hablé de las ecuaciones equivalentes, lo que vamos a hacer es ir transformando la ecuación que tengamos en otra equivalente más sencilla hasta que lleguemos finalmente a una ecuación equivalente que nos dé directamente la solución.
Aunque podríamos hacerlo en otro orden y llegar igualmente a la solución de la ecuación, vamos a seguir los siguientes pasos en la resolución de ecuaciones de primer grado:
1. Aplicamos la regla de la suma (nosotros lo haremos en su versión simplificada) para pasar todos los términos con x a un miembro (por ejemplo al primer miembro), y todos los números (términos sin x) al otro miembro (por ejemplo al segundo miembro).
Ejemplo:
3x – 7 = 1 + x
El 7 que está en el primer miembro restando (- 7) pasa al segundo miembro sumando (+ 7), y la xque está en el segundo miembro sumando (+ x) pasa al primer miembro restando (– x):
3x– x = 1 + 7
MUY IMPORTANTE: Solo cambiaremos el signo de un término cuando lo hayamos pasado de un miembro de la ecuación a otro. Si sigue estando en el mismo miembro de la ecuación y simplemente ocupa otra posición, NO se le cambia el signo.
2.Una vez que tenemos todos los términos con x en un miembro de la ecuación, y todos los términos sin x en el otro miembro, simplificamos operando con términos semejantesen cada miembro de la ecuación.
2x = 8
3.Si el término con x tiene un coeficiente (lo que está multiplicando a la x) distinto de 1, aplicamos la regla del producto (nosotros lo haremos en su versión simplificada) para despejar la x.
En nuestro ejemplo, el 2 que está multiplicando a la x pasa dividiendo a todo el otro miembro:
x = 4
IMPORTANTE: Si el término con x que hemos obtenido es –x, su coeficiente es -1, por lo que, al aplicar la regla del producto para despejar x, el menos desaparece de la x y -1 pasa dividiendo al otro miembro de la ecuación. Este paso equivale a cambiar de signo ambos miembros de la ecuación. Por ejemplo:
----
